مساله های و معما های متنوع ریاضی

سوال شماره ی ۲ :

دو عرب با هم مسافرت میکردند.یکی از آنها ۵ قرص نان و دیگری ۳ قرص نان با خود داشت عرب سومی به آنها پیوست شب شد و همه با هم ۸ قرص نان را خوردند عرب سوم ۸ درهم به آن دو عرب دیگر داد که بر سر تقسیم آن بین این دو اختلاف افتاد آن که ۵ قرص نان داشت میگفت تقسیم باید به نسبت ۵ به ۳ انجام گیرد و دیگری میگفت باید به تساوی باشد اختلافشان بالا گرفت و سر انجام از حضرت علی ( ع ) داوری خواستند آن حضرت ۷ درهم را حق صاحب ۵ قرص نان و ۱ درهم را حق صاحب ۳ قرص نان دانست!!! به نظر شما داوری حضرت بر چه پایه ای بوده است؟  مطلب بالا را آقای فرشاد حاجی عزیزی از معلمان 1 مدارس همدان برایمان فرستاده اند

سوال شماره ی ۳ :

فرض كنيد : ۱۰۰ نفر آدم با هوش در يك سالن زنداني هستند.

- حداقل يك نفر و حداكثر همه آنها داراي يك خال بر روي صورتشان هستند.

- هيچ كدام از اين افراد نمي دانند كه آيا خود داراي خال هستند يا نه.

- به آنها گفته شده كه به ازاي هر آدم خال دار يك شبانه روز ( نه كمتر و نه

 بيشتر) مهلت دارند كه آدم هاي خال دار از سالن بيرون بيايند.

- اين افراد نمي توانند هيچ ارتباطي با افراد ديگر موجود در سالن برقرار كنند.

- تنها ارتباط موجود ديدن صورت افراد ديگر است.

- به هيچ امكاني هم دسترسي ندارند كه صورت خود را ببينند.

- خلاصه پيغام و پيام و آينه و .... ممنوع است.

- تعداد افراد خال دار معلوم نيست.

سؤال : با چه روشي ممكن است كه فقط افراد خال دار در پايان مهلت تعيين

 شده (n روز به ازاي n خال دار) از سالن خارج شوند؟

جواب - > فرض کنین یه نفر تو قبیله خال داشته باشه. اون فرد خالدار بقیه قبیله رو میبینه که هیچ کس خالدار نیست ولی چون رییس قبیله گفته اینجور افراد حتما وجود دارند، نتیجه میگیره فقط خودش خالداره و همون روز اول خودش رو میکشه. از طرف دیگه بقیه افراد بدون خال میبینن یه نفر خال داره ولی خودشون نمیدونن خال دارن یا نه. مثل بالا برای خودشون استدلال میکنن که اگه خودشون خال نداشته باشن اون فرد خالدار باید امروز خودش رو بکشه و اگر خودشون خال داشته باشن اون فرد ديگه امروز رو منتظر خواهد موند. اون فرد خالدار روز اول خودشو ميکشه و بقيه ميفهمن که خودشون خالدار نبودن. اين از يکی.
حالا برای دو نفر همين استدلال رو تکرار کنين. فرض کنين دو نفر تو قبيله خال دارن. اونی که خالداره ميبينه يه نفر تو قبيله خال داره ولی نميدونه خودش هم خال داره يا نه. با خودش ميگه اگه من خال نداشته باشم اون فرد خالدار بايد امروز خودش رو بکشه و اگر خال داشته باشم بايد منتظر بمونه. اون فرد ديگه هم همين جور استدلال ميکنه و هر دوشون روز اول رو کاری نميکنن و منتظر ميمونن. در نتيجه ميفهمن که هر دو تا خالدارن و روز دوم خودشون رو ميکشن. اما اونايی که خال ندارن ميبينن دو نفر تو قبيله خال دارن. اونا دو روز صبر ميکنن تا سرنوشت اين دو تا معلوم بشه و چون روز دوم اون دو نفر خودشون رو ميکشن ميفهمن که خودشون خال نداشتن.
به همین ترتیب میتونین برای سه نفر و چهار نفر و ... تکرار کنین استدلال رو. در نتیجه اگه n نفر خالدار باشن تا روز n-1 ام صبر ميکنن و بقيه که خال ندارن تا روز n ام. روز n ام افراد خالدار دسته جمعی خودشون رو ميکشن و از اينجا بقيه ميفهمن که خودشون خال ندارن. يعنی تا صبح روز n+1 فرد خالداری تو قبيله وجود نخواهد داشت. پس تو این قبیله ما 7 نفر خالدار بودن چون تا صبح روز هشتم دیگه فرد خالداری تو قبیله نبوده

 سوال شماره ی ۴ :

- پدری از دو پسر تیزهوش خود می خواهد که هر کدام یک عدد

 انتخاب نمایند و بدون

آنکه دیگری متوجه شود، عدد خود را به او بگویند. پدر بعد از

شنیدن اعداد میگوید:

حاصلضرب دو عددی که آنها انتخاب کرده اند، 8 یا 16 می باشد.

 سپس از پسر بزرگتر

سئوال می کند: " آیا میدانی عددی که برادرت انتخاب کرده

است چند می باشد؟"پسر بزرگ: " نمی دانم! "

پدر از پسر کوچکتر همین سئوال را می پرسد.

پسرکوچک : " نمی دانم! "

پدر از پسر بزرگ مجددا همین سئوال را می پرسد.

پسر بزرگ: " نمی دانم! "

پدر از پسر کوچک مجددا همین سئوال را می پرسد.

پسرکوچک : " نمی دانم! "

پدر از پسر بزرگ بازهم همین سئوال را می پرسد.

پسر بزرگ: " می دانم! "

شما مي دانيد عددی که پسر کوچک انتخاب نموده است چند

است؟

جواب : بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 16 نیست چون اگر 16 بود با توجه به

حاصلضرب اعلام شده فقط عدد 1 برای پسر کوچک باقی می ماند و در آن صورت می

توانست به راحتی عدد پسر کوچک را بگوید. .....

B- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 16 نیست. چون اگر 1 بود فقط عدد 8 ، و

 اگر 16 بود فقط عدد 1 برای بزرگه باقی می ماند. .....

C- بزرگه میگه نمیدونم، پس عدد وی 1 و 8 نیست. .....

D- کوچیکه میگه نمیدونم، پس عدد وی 2 و 8 نیست. .....

در این لحظه که از بزرگه سوال میشود ، او تنها عدد باقی مانده برادرش را که 4 می

باشد، میتواند اعلام کند!

سوال شماره ی ۵ :

 يك فردي اسير است و بايد نجات پيدا كند و براي او دو مسير فرار وجود دارد.يكي نجات و

 ديگري نابوديست سر هر كدام از اين راهها يك نفر ايستاده يكي كاملا دروغ گو و ديگري كاملا راستگو اين فرد با يك سوال چگونه مي تواند راه صحيح را پيدا كند ؟( فقط يك سوال و فقط از يك نفر - راستگو و دروغگو مشخص نيست - راه برگشتي هم نيست )

جواب -> از یکی از انها، فرق ندارد کدام، میپرسه:
اگر از ان نگهبان ديگری بپرسم که آیا او سر راه آزادی ایستاده اون چه میگويد؟
این نگهبان هر چی گفت بر عکسش راه نجات خواهد بود...
اگر گفت آره، برعکسش ، یعنی ان راه نجات نیست و همینی که این ايستاده درست است...
اگر گفت نه، بازم برعکسش ، یعنی آری ان راه نجات است و اینی که ما ازش پرسیدیم راه نابودی...
این معمّای زیبا از اصل ریاضیات جدید (قوانین گزاره ها) حل میشه. برای این 1 :
p) = p~) ~ ، که یعنی نقیض نقیض هر گزاره هم ارز است با خود گزاره...
بدهی

سوال شماره ی ۶ :

سن يك مادر مقلوب سن پسرش است . يعني دو رقم تشكيل دهنده ي سن آن ها يكي است و فقط جاي يكان و دهگان آن ها عوض شده است . مي دانيم مجموع اين دو رقم برابر ۱۰  است . يك سال ديگر سن مادر دو برابر سن فعلی پسرش مي شود . سن هر يك از آن ها را تعيين كنيد .

سوال شماره ی ۷ :

حميد و وحيد برادرهاي دوقلو هستند. روزي حميد به وحيد گفت اگر يكي از شكلايت هايت را به من بدهي تعداد شكلات هاي من ۲ برابر شكلات هاي تو مي شود . وحيد در جوابش گفت : چرا تو يك شكلات به من نمي دهي تا تعداد شكلات هاي مان مساوي شود ؟! به نظر شما هر كدام چند شكلات دارند ؟

 

شیری گوسفندی را در یک ساعت و گرگی همان گوسفند را در دو ساعت و روباهی همان گوسفند را در سه ساعت می خورند اگر این سه حیوان با هم بخواهند گوسفند را  بخورند چه مدت طول می کشد؟

 

در یک مربع 6*6 چند مربع وجود دارد ؟

 

تعداد 20 نفر در یک کلاس نشسته اند اگر همه با هم یک بار دست بدهند در مجموع چند بار عمل دست دادن انجام شده است؟

 

اگر 20 نفر دور یک میز نشسته باشند و هر نفر به ترتیب با بغل دستی هایش دست دهد در مجموع چند بار عمل دست دادن انجام شده است؟

 

اگر مرغ دانه ای یک تومان و جوجه 7 دانه یک تومان وخروس دانه ای 8 تومان باشد . و بخوا هیم با 100 تومان 100 عدد ماکیان بخریم از هر کدام چند دانه می توانیم بخریم؟

 

فروشنده ای تعدادی بشکه از نوع بنزین و نفت دارد . تعداد گالن ها روی بشکه ها نوشته شده است ولی نوع آن ها مشخص  نیست . قیمت هر گالن بنزین دو برابر هر گالن نفت است . شخصی با 14 دلار بابت بنزین و 14 دلار بابت نفت تمامی بشکه ها را به جز یکی می خرد کدام بشکه را نخریده است؟

17 گالن

15 گالن

13 گالن

8 گالن

31گالن

19 گالن

 

دو ساعت شنی در اختیار داریم که یکی زمان 7 دقیقه و دیگری زمان 11 دقیقه را اندازه گیری می کند اولا بگویید غیر از زمانها ی 11و7 دقیقه حداقل زمانی را که می توان اندازه گرفت چند است؟

ثانیا : چگونه می توان زمان 15 دقیقه را اندازه گرفت؟

 

پرتقال فروشی همسایه ی جدید خود را که اتفاقا معلم ریاضی بود به مهمانی دعوت کرد همسایه از پرتقال فروش پرسید بچه هایت کجا هستند ؟ گفت مشغول بازی هستند دوباره پرسید چند فرزند دارید؟ و هر یک چند ساله اند؟ پرتقال فروش با زیرکی جواب داد 3 پسر دارم که حاصل ضرب سن آنها 72 است و مجموع سن آنها با شماره ی خانمان برابر است همسایه که با مساله ی غیر منتظره ای روبرو شده بود فورا به در خانه ی پرتقال فروش رفت و شماره ی پلاک او را دید آنگاه بازگشت و گفت مساله مبهم است . پرتقال فروش گفت حق با شماست بزرگترین پسرم به دوچرخه سواری خیلی علاقه مند است . معلم سریع سن بچه ها را گفت .بگویید بچه های پرتقال فروش چند ساله بودند؟

 

برای یک گروهان 200 نفری برای 30 روز غذا آماده شده است اگر پس از 10 روز 50 نفر به این تعداد اضافه شوند این غذا چند روزه تمام می شود؟

 

کارمندی در یک شرکت می گوید که در گروه او تعداد کارمندان زن بین 60% و 65% است چنانچه این گفته درست باشد کمترین تعداد کارمندان این گروه چند نفر است؟

 

خسرو روزهای 4 شنبه و 5 شنبه و جمعه دروغ می گوید و در سایر روزها راست می گوید فرهاد روزها ی 1 شنبه و 2 شنبه و 3 شنبه دروغ می گوید و سایر روزها ی هفته راست می گوید اگر امروز هر دوی آنها بگویند من دیروز دروغ گفتم امروز چه روزی است ؟

سکه های تقلبی
صورت مساله: 12 سکه داریم که یکی از آنها تقلبی است(معلوم نیست سنگین تر از بقیه است یا سبکتر) میخواهیم با سه بار وزن کردن اون سکه تقلبی رو پیدا کنیم.
و اما راه حل:
12 سکه را به 3 دسته 4 تایی تقسیم می کنیم و با انتخاب 2 دسته تا از آنها توزین اول را انجام می دهیم 2 حالت پیش می آید:

الف)2 دسته برابرند: پس دسته باقی مانده حاوی سکه تقلبی است. از بین 4 سکه این دسته 2 تا را انتخاب و توزین دوم را انجام می دهیم. اگر برابر بودند سکه تقلبی در بین 2 تای دیگر است، کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود. اگر برابرنبودند سکه تقلبی در بین همین 2 تا است، باز کافی است که یکی از آنها را با یک سکه معمولی بسنجیم(توزین سوم) که سکه تقلبی معلوم می شود.

ب) 2 دسته نا برابرند: یکی از 2 دسته حاوی سکه تقلبی است و مساله قدری سخت تراز حالت الف می شود . با خارج کردن 3 سکه از یک دسته و جابجایی 2 سکه از دسته دیگر به این دسته و افزودن 1 سکه معمولی به دسته دیگر توزین دوم را بین 2 دسته 3 تایی ایجاد شده انجام می دهیم .3 حالت پیش می آید:

ب-1) دو دسته برابرند
پس سکه تقلبی در بین 3 تای خارج شده است. با توجه به اینکه میدانیم از کدام دسته این 3 تا برداشته شده اند نوع نابرابری ان دسته در توزین اول سبکتر یا سنگینتر بودن سکه را معلوم می کند پس با توزین سوم سکه تقلبی بین این 3 سکه معلوم می شود. یعنی 2 تارا با هم می سنجیم اگر برابر بودند سومی تقلبی است واگرنابرابربودند همانی که نوع نابرابری را داشته باشد تقلبی است.

ب-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه تقلبی بین 2 سکه جابجا شده است که با توزین سوم معلوم میشود.

ب-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وسکه های جابجا شده (*) سکه های معمولی هستند و سکه تقلبی بین آنهایی است که جابجا نشده اند. در کل از 8 سکه مشکوک 5 تا کنار میرود و 3 سکه مشکوک باقی میماند. از دسته ای که 2 سکه دارد یکی را خارج می کنیم و1 سکه را به دسته دیگر منتقل می کنیم و در سمت دیگر 2 سکه معمولی می گذاریم توزین سوم را بین این 4 سکه انجام می دهیم .2 حالت پیش می آید:

ب-3-1) دو دسته برابرند پس سکه تقلبی سکه خارج شده است .
ب-3-2) دو دسته نابرابری خلاف توزین اول دارند پس سکه جابجا شده همان سکه تقلبی است.
ب-3-3) دو دسته نابرابری مشابه توزین اول دارند. پس سکه های خارج شده وجابجا شده سکه های معمولی هستند و سکه غیر این دو تقلبی است.